Question

已知实数x，y满足不等式：

x-y+2≥0 1≤x≤2 y≥2

．
（1）求

y

x

的取值范围；
（2）不等式xy≤ax²+2y²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用

y

x

的几何应用，利用数形结合即可得到结论；
（2）将不等式恒成立转化为求函数的最值，利用

y

x

的取值范围，结合二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）在直角坐标系中作出（x，y）的可行域：
设z=

y

x

，则z的几何意义是可行域内P（x，y）与（0，0）连线的斜率，
结合图形得：当P位于点B（2，2）时，OB的斜率最小为

2

2

=1，
当P位于点D（1，3）时，OD的斜率最大为

3

1

=3，
即1≤z≤3，
∴求

y

x

的取值范围是[1，3]．
（2）不等式xy≤ax²+2y²恒成立，
则a≥

xy-2y2

x2

=

y

x

-2(

y

x

)2=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

∵

y

x

的取值范围是[1，3]．
∴当

y

x

=1时，

y

x

-2(

y

x

)2取得最大值-1，
∴a≥-1．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．