Question

已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，有f（x）=x+

4

x

-1；且当x∈[-3，-1]时f（x）的值域是[n，m]，则m-n的值是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的对称性和单调性之间的关系，得到x∈[1，3]时f（x）的值域是[-m，-n]，然后根据函数的表达式即可求解，m，n的值．

解答： 解：∵函数y=f（x）是奇函数，且当x∈[-3，-1]时f（x）的值域是[n，m]，
∴根据奇函数的性质可知当x∈[1，3]时f（x）的值域是[-m，-n]，
当x＞0时，有f（x）=x+

4

x

-1，则f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
∴函数的最小值为f（2）=2+2-1=3，即-m=3，
解得m=-3．
又f（1）=1+4-1=4，f（3）=3+

4

3

-1=3

1

3

＜f（1），
∴f（x）的最大值为f（1）=4，
即-n=4，解得n=-4，
∴m-n=-3-（-4）=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数y=x+

a

x

，a＞0的单调性的应用．