Question

已知函数f（x）=ax²+

1

bx

+c（a，b∈N）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求函数解析式；
（2）判断证明f（x）在[1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质f（-x）=-f（x），列出方程求出a、c的值，再由f（1）=2求出b的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+

1

bx

+c是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即ax²-

1

bx

+c=-（ax²+

1

bx

+c），
∴a=c=0，
则f(x)=

1

bx

由f（1）=2得，b=

1

2

，
∴f(x)=

2

x

，
（2）f(x)=

2

x

在[1，+∞）上是减函数．
证明：设1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1•x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，则

2(x2-x1)

x1•x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数．

点评：本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．