Question

已知f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足b²+c²-a²+bc=0
（1）求角A的值；
（2）求f（A）的值；
（3）求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）在△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

 的值，可得A的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由此求得f（A）的值．
（3）由题意可得B+C=

π

3

，故有

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，再根据正弦函数的定i义域和值域求得f（B）的范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵b²+c²-a²+bc=0，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴A=

2π

3

．
（2）∵f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（A）=f（

2π

3

）=2sin（

4π

3

+

π

6

）+1=-1．
（3）∵A=

2π

3

，∴B+C=

π

3

，∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（

4π

3

+

π

6

）≤1，
2＜2sin（

4π

3

+

π

6

）+1≤3，
即f（B）的范围是（2，3]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．