Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

，求证：△AOB的面积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率等于

1

2

，原点O到直线x-y+

6

=0的距离等于b及隐含条件c²=a²-b²联立方程组求解a²，b²的值，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案．

解答： （Ⅰ）解：由题意得

c a = 1 2 c2=a2-b2 b= |0-0+ 6 | 2

⇒a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则A，B的坐标满足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y化简得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

4m2-12

3+4k2

+km•(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．
∵kOA•kOB=-

b2

a2

=-

3

4

，
∴

y1y2

x1x2

=-

3

4

，即y1y2=-

3

4

x1x2．
∴

3m2-12k2

3+4k2

=-

3

4

•

4m2-12

3+4k2

，即2m²-4k²=3．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)• 48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

24(1+k2) 3+4k2

．
又O点到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

|m|

1+k2

24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

m2 1+k2 • 24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

3+4k2 2 • 24 3+4k2

=

3

为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，是高考试卷中的压轴题．