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    已知双曲线x2-y2=1的焦点与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的焦点重合，且该椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的动点．
    （1）求椭圆标准方程；
    （2）设动点P满足：
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，求证：存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；
    （3）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，求证：以NB为直径的圆经过点M．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：向量与圆锥曲线
    分析：（1）由双曲线方程求出双曲线的交点坐标，求得椭圆的半焦距，结合已知椭圆的长轴长求得a，则b可求，椭圆方程可求；
    （2）设出P点M点及N点的坐标，由向量关系得到P、M、N的坐标关系，再由直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    可得M、N的坐标关系，结合M、N在椭圆上可得P点的轨迹是椭圆，说明|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；
    （3）设出M与B的坐标，得到A，N的坐标，由题设知NA和NB的斜率相等，由此得到M与B的坐标的关系，然后结合M，B在椭圆上证出kMN•kMB+1=0，即kMN•kMB=-1，从而证得以NB为直径的圆经过点M．
    解答： （1）解：由题设可知：双曲线x2-y2=1的焦点为（±
    		2
    ，0），
    ∴椭圆中的c=
    		2
    ，
    又由椭圆的长轴为4得  a=2，
    故b2=a2-c2=2．
    故椭圆的标准方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ；        
    （2）证明：设P（xp，yp），M（x1，y1），N（x2，y2），
    由
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    可得：
    xP=x1+2x2
    yP=y1+2y2
     ①
    由直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    可得：
    y1y2
    x1x2
    =-
    1
    2
    ，即x1x2+2y1y2=0  ②
    由①②可得：xP2+2yP2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)．
    ∵M、N是椭圆上的动点，故x12+2y12=4，x22+2y22=4．
    故xP2+2yP2=20，即
    xP2
    20
    +
    yP2
    10
    =1    ；
    由椭圆定义可知存在两个定点F1(-
    		10
    ，0)，F2(
    		10
    ，0)    ，使得动点P到两定点距离和为定值4
    		5
    ； 
    （3）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），
    由题设可知x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1），
    由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴
    y1
    2x1
    =
    y2+y1
    x2+x1
    ．③
    kMN•kMB+1=
    y1
    x1
    •
    y2-y1
    x2-x1
    +1    ．④
    将③代入④可得：kMN•kMB+1=
    2(y2+y1)
    x2+x1
    •
    y2-y1
    x2-x1
    +1=
    (x22+2y22)-(x12+2y12)
    x22-x12
    ．⑤
    点M，B在椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ，
    故kMN•kMB+1=
    (x22+2y22)-(x12+2y12)
    x22-x12
    =
    4-4
    x22-x12
    =0    ．
    ∴kMN•kMB+1=0，kMN•kMB=-1，
    ∴MN⊥MB．
    因此以NB为直径的圆经过点M．
    点评：本题考查了椭圆方程的求法，训练了利用向量关系求得点的坐标之间的关系，解答此题的关键是设出所用点的坐标，充分利用点在椭圆上这一特性，通过整体代换化简，此类问题的解决需要学生具有较强的计算能力和逻辑推理能力，是高考试卷中的压轴题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    100
    +
    y2
    25
    =1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
    （Ⅰ）求以原点O为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；
    （Ⅱ）求以原点O为圆心，与直线AB相切的圆的方程；
    （Ⅲ）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列关于两条不同的直线l，m两个不重合的平面α，β的说法，正确的是（　　）
    A、若l?α且α⊥β，则l⊥β
    B、若l⊥β且m⊥β，则l∥m
    C、若l⊥β且α⊥β，则l∥α
    D、若α∩β=m且l⊥m，则l⊥α

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁UB={1，2}，则A∩B（　　）
    A、{1，2}
    B、{1，3}
    C、{3}
    D、{1，2，3}

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若函数y=cosωx（ω＞0）的图象向右平移
    π
    6
    个单位后与函数y=sinωx的图象重合，则ω的值可能是（　　）
    A、
    1
    2
    B、1
    C、3
    D、4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
    		6
    =0相切．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=-
    b2
    a2
    ，求证：△AOB的面积为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．

    （Ⅰ）求图中实数a的值；
    （Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；
    （Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A(0，
    		2
    )    ，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．
    （1）求p的值；
    （2）试判断圆C与x轴的位置关系；
    （3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设命题p：方程x2+mx+1=0有实根，命题q：数列{
    1
    n(n+1)
    }    的前n项和为Sn，对?n∈N*恒有m≤Sn，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

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