Question

设命题p：方程x²+mx+1=0有实根，命题q：数列{

1

n(n+1)

}的前n项和为S_n，对?n∈N^*恒有m≤S_n，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,复合命题的真假

专题：等差数列与等比数列

分析：由命题p为真命题，推导出m≥2或m≤-2，由命题q为真命题推导出m≤

1

2

，再由p，q一真一假，能求出m的取值范围．

解答： 解：当命题p：方程x²+mx+1=0有实根为真命题，
则△=m²-4≥0，即m≥2或m≤-2…3分
当命题q：数列{

1

n(n+1)

}的前n项和为S_n，对?n∈N^*恒有m≤S_n为真命题，
则由Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
得Sn≥

1

2

…6分
又对?n∈N^*恒有m≤S_n，
∴m≤

1

2

…8分
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q一真一假…10分
∴-2＜m≤

1

2

，或m≥2，
∴m的取值范围{m|-2＜m≤

1

2

，或m≥2}．…13分．

点评：本题考查命题的应用，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．