Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=

an

bn

，T_n为数列的前项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；利用b_n=2-2S_n，由n=1求出首项，由b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，推导出{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）由（1）知cn=

an

bn

=

(3n-1)•3n

2

，由此利用裂项求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，设公差为d，
∴

a1+4d=14 a1+6d=20

，解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n，
令n=1，则b₁=2-2S₁=2-2b₁，∴b₁=

2

3

，
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，
得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知cn=

an

bn

=

(3n-1)•3n

2

，
∴Tn=

1

2

[2•3+5•3²+8•3³+…+（3n-1）•3ⁿ]，①
3T_n=

1

2

[2•3²+5•3³+8•3⁴+…+（3n-1）•3ⁿ⁺¹]，②
①-②，得：
-2T_n=

1

2

[6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-（3n-1）•3ⁿ⁺¹]
=

1

2

[6=

33(3n-1-1)

3-1

-（3n-1）•3ⁿ⁺¹]
=

-(6n-5)•3n+1-15

4

，
∴T_n=

(6n-5)•3n+1+15

8

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．