Question

抛物线C₁：x²=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

2

=1相交于C，D两点．
（1）求抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂的左焦点F₁的距离；
（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定求抛物线C₁的焦点F、椭圆C₂的左焦点F₁的坐标，即可求抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂的左焦点F₁的距离；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程联立，说明直线AB过抛物线C₁的焦点F，再求出P的坐标，可得点P（2k，-1）到直线AB：kx-y+1=0的距离，从而求出|CD|，再求出|AB|，利用|AB|，d，|CD|成等比数列，即可得出结论．

解答： 解：（I）抛物线C₁的焦点F（0，1），…（1分）
椭圆C₂的左焦点F1(-

2

，0)，…（2分）
则|FF1|=

3

．                                                    …（3分）
（II）设直线AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，…（4分）
故x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
由x²=4y，得y′=

x

2

，
故切线PA，PB的斜率分别为kPA=

x1

2

，kPB=

x2

2

，
再由PA⊥PB，得k_PAk_PB=-1，即

x1

2

•

x2

2

=

x1x2

4

=

-4m

4

=-m=-1，
故m=1，这说明直线AB过抛物线C₁的焦点F．                         …（7分）
由

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，得x=

x1+x2

2

=2k，
y=

x1

2

•2k-

x12

4

=kx1-

x12

4

=

x1+x2

4

•x1-

x12

4

=

x1x2

4

=-1，
即P（2k，-1）．  …（8分）
于是点P（2k，-1）到直线AB：kx-y+1=0的距离d=

2k2+2

1+k2

=2

1+k2

．…（9分）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，…（10分）
从而|CD|=

1+k2

(4k)2-4(1+2k2)•(-2)

1+2k2

=

1+k2

8(1+4k2)

1+2k2

，…（11分）
同理，|AB|=4（1+k²）．                                       …（12分）
若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d²=|AB|•|CD|，…（13分）
即(2

1+k2

)2=4(1+k2)•

1+k2

8(1+4k2)

1+2k2

，
化简整理，得28k⁴+36k²+7=0，此方程无实根，
所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．  …（15分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的性质，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，考查韦达定理的运用，属于中档题．