Question

（08年龙岩一中冲刺理）（12分）

如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

  （1）证明PA//平面BDE；

  （2）求二面角B―DE―C的大小；

  （3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

解析：解法一：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO.

由底面ABCD是正方形知O为AC的中点，又E为PC的中点，

∴OE//PA，  ∵OE平面BDE，平面BDE，

∴PA//平面BDE   ………………4分

（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，

∴BC⊥平面PCD，又PD=DC，E为PC的中点，

∴DE⊥PC，从而由三垂线定理知DE⊥BE，

∴∠BEC是二面角B―DE―C的平面角.

设正方形ABCD的边长为a，

则，

在Rt△BCE中，

∴二面角B―DE―C的大小为 …………8分

（3）作EF⊥PB于点F，则Rt△PEF∽Rt△PBC，∴

∴PF?PB=PE?PC=，连结DF

∵在△PBD中，∠PDB=90°，PF?PB=a²=PD²， ∴PB⊥DF，

从而PB⊥平面DEF，此时

即在棱PB上存在点F，，使得PB⊥平面DEF  …………12分

解法二：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）   

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 

∵ ……4分