Question

已知函数f(x)＝(1－x)e^x－1.

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设g(x)＝，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1.

 

Answer 1

解：(1)f′(x)＝－xe^x.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0.

(2)证明：由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＝＜0＜1.

当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x.

设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xe^x－1.

当x∈(－1，0)时，0＜－x＜1，0＜e^x＜1，则0＜－xe^x＜1，

从而当x∈(－1，0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1，0)上单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.

综上，总有g(x)＜1.