Question

11．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）解不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}（a-x）$；
（3）求函数g（x）=|log_ax-1|的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出a的范围，根据函数的单调性得到log_a（2a）-log_aa=1，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可；
（3）通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵log_a3＞log_a2，∴a＞1，
又∵y=log_ax在[a，2a]上为增函数，
∴log_a（2a）-log_aa=1，∴a=2．
（2）依题意可知$\left\{\begin{array}{l}x-1＜2-x\\ x-1＞0\end{array}\right.$解得$1＜x＜\frac{3}{2}$，
∴所求不等式的解集为$（1，\frac{3}{2}）$．
（3）∵g（x）=|log₂x-1|，
∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0，
则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{log_2}x，0＜x≤2\\{log_2}x-1，x＞2\end{array}\right.$
∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
g（x）的减函数为（0，2），增区间为（2，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．