Question

【题目】已知函数f(x)＝loga (其中a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明；

(3)若x∈时，函数f(x)的值域是[0,1]，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）(－1,1)（2）奇函数（3）3.

【解析】试题分析：（1）由真数大于零解得不等式解集，即为函数定义域（2）先确定定义域关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)关系：相反，最后根据奇函数定义确定奇偶性（3）先根据复合函数性质确定单调性：当a>1时，单调递增；当0<a<1时，单调递减再根据单调性确定最值取法，根据最值求实数a的值．

试题解析：(1)由条件知>0，解得－1<x<1，

∴函数f(x)的定义域为(－1,1)；

(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．

f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．

(3)f(x)＝loga＝loga＝

loga＝loga.

记g(x)＝－1－，

则g(x)＝－1－在上单调递增，

因此当a>1时，f(x)在上单调递增，

由f＝1，得a＝3；

当0<a<1时，f(x)在上单调递减，

由f(0)＝1得出矛盾，a∈；

综上可知a＝3.