Question

11、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）连接BC₁、B₁C，先证AP⊥B₁C，根据B₁C∥MN，从而证得AP⊥MN．
（2）欲证平面MNP∥平面A₁BD，先证线面平行，连接B₁D₁，根据面面平行的判定定理可知，先证PN∥平面A₁BD，MN∥平面A₁BD，即可．

解答：证明：（1）连接BC₁、B₁C，则B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影．∴AP⊥B₁C．
又B₁C∥MN，∴AP⊥MN．
（2）连接B₁D₁，∵P、N分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，
∴PN∥B₁D₁．又B₁D₁∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A₁BD上，
∴PN∥平面A₁BD．
同理，MN∥平面A₁BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A₁BD．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．