【题目】已知函数f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)当m=时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值;
【答案】(Ⅰ)(0,1);(Ⅱ)2.
【解析】
(1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间;(2)关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立,即为恒成立,令,求得导数,求得单调区间,讨论m的符号,由最大值小于等于0,通过分析即可得到m的最小值.
(1)当m=时,.
由f′(x)>0得1﹣x2>0又x>0,所以0<x<1.所以f(x)的单增区间为(0,1).
(2)令x+1.
所以=.
当m≤0时,因为x>0,所以G′(x)>0所以G(x)在(0,+∞)上是递增函数,
又因为G(1)=﹣,
所以关于x的不等式G(x)≤mx﹣1不能恒成立.
当m>0时,.
令G′(x)=0得x=,所以当时,G′(x)>0;当时,G′(x)<0.
因此函数G(x)在是增函数,在是减函数.
故函数G(x)的最大值为.
令h(m)=,因为h(1)=,h(2)=.
又因为h(m)在m∈(0,+∞)上是减函数,所以当m≥2时,h(m)<0.
所以整数m的最小值为2.
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【题目】荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在荷叶上,则跳三次之后停在荷叶上的概率是( )
A.B.C.D.
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【题目】已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396
021 506 318 230 113 507 965
据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率为()
A. 0.25B. 0.30C. 0.35D. 0.40
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【题目】已知函数(,其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数有两个不同的零点.
(ⅰ)当时,求实数的取值范围;
(ⅱ)设的导函数为,求证:.
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【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间,但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系,在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数,得到了如下数据:
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数(颗) | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)请根据统计的最后三组数据,求出关于的线性回归方程;
(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗,则认为线性回归方程是可靠的,试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠;
(3)若100颗小麦种子的发芽率为颗,则记为的发芽率,当发芽率为时,平均每亩地的收益为元,某农场有土地10万亩,小麦种植期间昼夜温差大约为,根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附:在线性回归方程中,.
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【题目】在的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和.
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【题目】已知过点作动直线与抛物线相交于,两点.
(1)当直线的斜率是时,,求抛物线的方程;
(2)设,的中点是,利用(1)中所求抛物线,试求点的轨迹方程.
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