Question

【题目】已知函数， ，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.

（III）由题意可得两条切线方程分别为l1： .l2： .则原问题等价于当时，存在， ，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.

详解：（I）由已知， ，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时， ， 的变化情况如下表：

x		0
		0	+
		极小值

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）曲线在点处的切线l1： .

曲线在点处的切线l2： .

要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，

只需证明当时，存在， ，使得l1和l2重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②，得. ③

因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.

设函数，

即要证明当时，函数存在零点.

，可知时， ；

时， 单调递减，

又， ，

故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.

由此可得在上单调递增，在上单调递减.

在处取得极大值.

因为，故，

所以.

下面证明存在实数t，使得.

由（I）可得，

当时，

有

，

所以存在实数t，使得

因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.