Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）在（1）的条件下证明数列{

an

2n

}是等差数列，并求a_n．

Answer 1

分析：（1）因为S_n+1=4a_n+2，所以S_n=4a_n-1+2，（n≥2）．两式相减得出a_n+1=4（a_n-a_n-1），a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），易证b_n=a_n+1-2a_n，数列{b_n}是等比数列．
（2）根据（1）{b_n}是等比数列，可得{b_n}的通项公式，从而证得数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，通过数列{

an

2n

}的通项公式求出数列{a_n}的通项公式

解答：解：（1）因为S_n+1=4a_n+2，所以S_n=4a_n-1+2，（n≥2）．两式相减得出a_n+1=4（a_n-a_n-1），a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又∵b_n=a_n+1-2a_n∴b_n=2b_n-1
S₂=4a₁+2，a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1，所以a₂=5，
b₁=a₂-2a₁=5-2×1=3，
∴{b_n}是首项b₁=3，公比等于2的等比数列．
（2）由（1）可得b_n=3•2^n-1，∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，所以∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

3

4

=

3n-1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

点评：此题主要考查了等比数列的判断，通项公式求解．考查转化构造，运算求解能力．