Question

【题目】如图，四边形 为菱形，四边形 为平行四边形，设 与 相交于点 ， ．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：连接 ，

∵四边形 为菱形，

∵ ，

在 和 中，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ；

（2）

解法一：连接 ，∵ 面 平面 ，∴ ，

在平行四边形 中，易知 ，

∴ ，即 ，又因为 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，

∵ ，

∴三棱锥 的体积为 .

解法二：∵ ，∴点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的两倍，所以 ，

作 ，∵平面 平面 平面 ，

∴ ，

∴三棱锥 的体积为 .

【解析】（1）做辅助线，连接EG，通过证明△EAD和△EAB全等，得到ED=EB，即EG⊥BD。四边形ABCD为菱形，则有AC⊥BD，故BD⊥平面ACFE，进而可以证明两个平面垂直。（2）连接FG，证明FG为点F到△BDE的距离，求出△BDE的面积，通过三棱锥公式即可求出三棱锥体积。