Question

【题目】已知椭圆 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 ．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q． （I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 ． ∴ ，①且 = ，②
由①、②解得a2=6，b2=3，
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）证明：记P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，
∵﹣2，x1是该方程的两根，∴﹣2x1= ，即x1= ．
设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2= ．
因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），
故kPQ= = = =1，
因此直线PQ的斜率为定值．
【解析】（Ⅰ）根据椭圆 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 ，确定几何量之间的关系，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）记P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2），设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，求得x1= ，同理得x2= ，再利用kPQ= ，即可证得结论．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．