Question

9．已知公比不为1的等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{π}{8}$，且2a₂，$\frac{3}{2}$a₃，a₄成等差数列．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=sina_n，c_n=cosa_n，T_n，P_n分别为数列{b_n}，{c_n}的前n项和，比较T_n和P_n的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q（q≠1），根据等差中项的性质列出方程化简后求出q，由等比数列的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件化简得b_n、c_n，对n进行依次取值，由正弦函数、余弦函数的性质，分别比较T_n和P_n的大小，由等比数列的特点归纳出结论．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q（q≠1），
∵a₁=$\frac{π}{8}$，且2a₂，$\frac{3}{2}$a₃，a₄成等差数列，
∴2•$\frac{3}{2}$a₃=2a₂+a₄，则$3{a}_{1}{q}^{2}=2{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}$，
化简得q²-3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去），
∴a_n=a₁•q^n-1=$\frac{π}{8}•{2}^{n-1}$=π•2^n-4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=sin$\frac{{2}^{n-1}•π}{8}$，c_n=cos$\frac{{2}^{n-1}•π}{8}$，
当n=1时，T₁=$sin\frac{π}{8}$，P₁=$cos\frac{π}{8}$，则T₁＜P₁；
当n=2时，T₂=$sin\frac{π}{8}$+$sin\frac{π}{4}$=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，P₂=$cos\frac{π}{8}$+$cos\frac{π}{4}$=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，则T₂＜P₂；
当n=3时，T₃=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₃=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，则T₃＞P₃；
当n=4时，T₄=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₄=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，则T₄＞P₄；
当n=5时，T₅=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ+sin2π=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₅=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ+cos2π=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1+1=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，则T₅＞P₅；
当n=6时，T₆=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ+sin2π+sin4π=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₆=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ+cos2π+cos4π=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1+1+1=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，则T₆＜P₆；
…
综上可得，当n=3、4、5时，有T_n＞P_n；当n=1、2或n≥6时，有T_n＜P_n．

点评 本题考查等比数列的通项公式，等差中项的性质，正弦函数、余弦函数的性质，以及归纳法求数列的和，属于中档题．