(1)写出函数y＝x2-2x的单调区间及其图像的对称轴.观察:在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点? (2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图像的对称轴.观察:在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点? (3)定义在[-4.8]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称.y＝f(x)的部分图像如图所示.请补全函数y＝f(x)的图像.并写出其单� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

(1)写出函数y＝x²－2x的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？

(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？

(3)定义在[－4，8]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图像如图所示，请补全函数y＝f(x)的图像，并写出其单调区间，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？

(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明．

答案：
解析：

　　解：(1)函数y＝x²－2x的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)关于直线x＝1对称，单调性相反．

　　(2)函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)；对称轴是y轴即直线x＝0；区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)关于直线x＝0对称，单调性相反．

　　(3)函数y＝f(x)，x∈[－4，8]的图像如图所示．

　　函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2，5]；单调递减区间是[5，8]，[－1，2]；区间[－4，－1]和区间[5，8]关于直线x＝2对称，单调性相反，区间[－1，2]和区间[2，5]关于直线x＝2对称，单调性相反．

　　(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：

　　不妨设函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数，区间[a，b]关于直线x＝m的对称区间是[2m－b，2m－a]．

　　由于函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，则f(x)＝f(2m－x)．

　　设2m－b≤x₁＜x₂≤2m－a，则b≥2m－x₁＞2m－x₂≥a，

　　f(x₁)－f(x₂)＝f(2m－x₁)－f(2m－x₂)．

　　又∵函数y＝f(x)在[a，b]上是增函数，∴f(2m－x₁)－f(2m－x₂)＞0．

　　∴f(x₁)－f(x₂)＞0．

　　∴f(x₁)＞f(x₂)．

　　∴函数y＝f(x)在区间[2m－b，2m－a]上是减函数．

　　∴当函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数时，在[a，b]关于直线x＝m的对称区间[2m－b，2m－a]上则是减函数，即单调性相反．

　　因此有结论：如果函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．

提示：

本题探讨函数的单调性的性质．利用归纳、猜想、证明的方法得到结论，用定义证明结论．

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