Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1= Sn ． 求证：
（1）数列{ }成等比；
（2）Sn+1=4an ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1= Sn，

∴Sn= ，Sn﹣1= ，n≥2

∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

即2n× = ，

∵n≠0，∴ = ，

∴ ，（n≥2）

即 ： =2，

n=1时， = =1，

∴{ }是首项为1，公比为2的等比数列．

（2）证明：∵{ }是首项为1，公比为2的等比数列，

∴ =2n﹣1，∴Sn=n2n﹣1，

∴an+1= Sn= =（n+2）2n﹣1，

∴an=（n+1）2n﹣2．

∴Sn+1=（n+1）2n=4an．
【解析】（1）由an+1= Sn ， 知Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，从而 = ，进而 ，（n≥2），由此能证明{ }是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知Sn=n2n﹣1 ， an=（n+1）2n﹣2 ． 由此能证明Sn+1=（n+1）2n=4an ．
【考点精析】利用等比关系的确定和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．