Question

15．求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．求f（x）；
（2）已知f（$\sqrt{x+1}$）=x+2$\sqrt{x}$，求f（x）；
（3）已知2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=x（x≠0），求f（x）；
（4）已知对任意实数x、y都有f（x+y）-2f（y）=x²+2xy-y²+3x-3y，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求f（x）；
（2）利用换元法即可求f（x）；
（3）利用方程组法即可，求f（x）；
（4）利用赋值法进行求解即可．

解答 解：（1）解：设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）设t=$\sqrt{x+1}$，则t≥0，x=t²-1，
则由f（$\sqrt{x+1}$）=x+2$\sqrt{x}$得f（t）=t²-1+2$\sqrt{{t}^{2}-1}$，
即f（x）=x²-1+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，（x≥0）．
（3）∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=x，
∴f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=$\frac{1}{x}$，
消去f（$\frac{1}{x}$）得f（x）=$\frac{2}{3x}$-$\frac{1}{3}$x．
（4）解：令x=y=0得f（0）=2f（0），则f（0）=0
令y=0得f（x）=f（0）+x²+3x
即f（x）=x²+3x．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据条件选择合适的方法是解决本题的关键．