Question

设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．
（1）若，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列

Answer 1

（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．
因为恒成立，所以，即．
而且当时，，  ①
， ②
①－②得 ．
若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
(ii) 若k=1，设（b，c为常数），
当时，，          ③
，    ④
③－④得 ．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1，
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时．
(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），
当时，，          ⑤
， ⑥
⑤－⑥得 ，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有
，且d=2a，
考虑到a1=1，所以．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，
此时（a为非零常数）． (iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

略