Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且＝λ(λ＞0)，定点A(－4，0)．
(1)求证：当λ＝1时，⊥；
(2)若当λ＝1时，有·＝，求椭圆C的方程．.

Answer 1

（1）见解析（2）＝1

(1)证明：设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，F(c，0)，则＝(c－x₁，－y₁)，＝(x₂－c，y₂)．当λ＝1时，＝，∴－y₁＝y₂，x₁＋x₂＝2c.∵M、N两点在椭圆C上，∴＝a²，＝a²，∴＝.若x₁＝－x₂，则x₁＋x₂＝0≠2c(舍去)，∴x₁＝x₂，∴＝(0，2y₂)，＝(c＋4，0)，∴·＝0，∴⊥.
(2)解：当λ＝1时，由(1)知x₁＝x₂＝c，
∴M，N，∴＝，＝，
∴·＝(c＋4)²－＝.(*)
∵＝，∴a²＝c²，b²＝，代入(*)式得c²＋8c＋16＝，∴c＝2或c＝－(舍去)．∴a²＝6，b²＝2，∴椭圆C的方程为＝1