Question

2．已知m∈R，函数f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m．
（1）若0＜m≤$\frac{1}{2}$，求|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）；
（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值为h（m），求h（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，求出函数f（x）的最大值和最小，比较|f（x）|的大小即可求出函数|f（x）|最大值g（m）；
（2）求出m与对称轴之间的关系，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+2+m+（$\frac{3-2m}{2}$）²=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$，
则对称轴为x=$\frac{3-2m}{2}$，
若0＜m≤$\frac{1}{2}$，则0＜2m≤1，1≤$\frac{3-2m}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
则函数f（x）在[-1，1]上为增函数，
则当x=1时，函数f（x）为最大值f（1）=-1+3-2m+2+m=4-m，
当x=-1时，函数f（x）为最小值f（-1）=-1-3+2m+2+m=3m-2，
∵0＜m≤$\frac{1}{2}$，∴0＜3m≤$\frac{3}{2}$，-2＜3m-2≤-$\frac{1}{2}$
则|f（-1）|=|3m-2|∈[$\frac{1}{2}$，2），
f（1）=4-m∈[$\frac{7}{2}$，4），
则|f（1）|＞|f（-1）|，
即|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4-m；
（2）f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$，
则函数 对称轴为x=$\frac{3-2m}{2}$，
若0＜m≤1，则0＜2m≤2，$\frac{1}{2}$≤$\frac{3-2m}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
若m≤$\frac{3-2m}{2}$，即0＜m≤$\frac{3}{4}$时，函数f（x）在[0，m]上单调递增，则最大值为h（m）=f（m）=-m²+（3-2m）m+2+m=-3m²+4m+2．
若m＞$\frac{3-2m}{2}$，即$\frac{3}{4}$＜m≤1时，函数f（x）在[0，m]上不单调，此时当x=$\frac{3-2m}{2}$时，函数f（x）取得最大值h（m）=$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$=m²-2m+$\frac{17}{4}$
即h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-3{m}^{2}+4m+2，}&{0＜m≤\frac{3}{4}}\\{{m}^{2}-2m+\frac{17}{4}，}&{\frac{3}{4}＜m≤1}\end{array}\right.$，
当0＜m≤$\frac{3}{4}$时，h（m）=-3m²+4m+2的对称轴为m=$-\frac{4}{2×（-3）}$=$\frac{2}{3}$．即当m=$\frac{2}{3}$时，函数h（m）取得最大值h（$\frac{2}{3}$）=-3×（$\frac{2}{3}$）²+4×$\frac{2}{3}$+2=$\frac{10}{3}$．
当$\frac{3}{4}$＜m≤1时，h（m）=m²-2m+$\frac{17}{4}$的对称轴为m=1，此时函数h（m）为减函数，则函数h（m）＜h（$\frac{3}{4}$）=（$\frac{3}{4}$）²-2×$\frac{3}{4}$+$\frac{17}{4}$=$\frac{53}{16}$．
∵$\frac{10}{3}$＞$\frac{53}{16}$．
∴h（m）的最大值是$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查一元二次函数的图象和性质，根据一元二次函数对称轴与区间的关系进行讨论是解决本题的关键．