Question

10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底边与侧棱长均为1，点E、F是侧棱上的中点
（1）求AF与底面ABC所成角的正切值；
（2）求四棱锥A-BEFC的体积．

Answer 1

分析 （1）由C₁C⊥平面ABC可知，∠FAC为AF与底面ABC所成的角；
（2）取BC中点D，连结AD，则AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD⊥平面BCC₁B₁，代入体积公式计算．

解答 解：（1）∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CF⊥AC，∠FAC为AF与底面ABC所成的角．
∴tan∠FAC=$\frac{FC}{AC}=\frac{1}{2}$．
（2）取BC中点D，连结AD
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
又BC?平面BCC₁B₁，C₁C?平面BCC₁B₁，BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴V_A-BCFE=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BCFE}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面角的定义，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．