Question

18．若a为正实数，2a²+3b²=1，则a$\sqrt{2+{b}^{2}}$的最大值为1．

Answer 1

分析 变形利用二次函数的单调性、不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a为正实数，2a²+3b²=1，∴b²=$\frac{1-2{a}^{2}}{3}$≥0，解得$0＜{a}^{2}≤\frac{1}{2}$．
则$[a\sqrt{2+{b}^{2}}]^{2}$=a²（2+b²）=a²$（2+\frac{1-2{a}^{2}}{3}）$=$\frac{1}{3}（-2{a}^{4}+7{a}^{2}）$=-$\frac{2}{3}$$（{a}^{2}-\frac{7}{4}）^{2}$+$\frac{49}{24}$≤$-\frac{2}{3}（\frac{1}{2}-\frac{7}{4}）^{2}+\frac{49}{24}$=1，
∴a$\sqrt{2+{b}^{2}}$的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了基二次函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．