Question

9．已知△ABC中，内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，且a+b=$\sqrt{3}c$，2sin²C=3sinAsinB．
（1）求∠C；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知式子和正弦定理可得c²=$\frac{3}{2}$ab，结合a+b=$\sqrt{3}c$和余弦定理可得cosC，可得角C；
（Ⅱ） 由三角形的面积公式可得ab=4，整体代入余弦定理计算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中2sin²C=3sinAsinB，
∴sin²C=$\frac{3}{2}$sinAsinB，故c²=$\frac{3}{2}$ab，
又∵a+b=$\sqrt{3}c$，∴a²+b²+2ab=3c²，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{2{c}^{2}-2ab}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\sqrt{3}$，
∴ab=4，又c²=$\frac{3}{2}$ab=$\frac{3}{2}$×4=6，
∴c=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．