Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$对于任意的x₁，x₂，x₃∈[2，2+m]，恒有f（x₁）+f（x₂）≥f（x₃），则m的取值范围是0＜m$≤2\sqrt{2}+2$．

Answer 1

分析 利用函数的单调性，找出不等式左边的最小值，和右边的最大值．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{x}^{2}}{x-1}$
∴${f}^{′}（x）=\frac{x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，容易知道在[2，2+m]上单调递增
∵f（x）的最小值为f（2），f（x）的最大值为f（2+m）
f（x₁）+f（x₂）的最小值为f（2）+f（2），f（x₃）的最大值为f（2+m）
∴f（2）+f（2）≥f（2+m）
故答案是：0＜m≤$2\sqrt{2}+2$

点评 本题主要考查不等式的应用，利用函数的单调性求最值是解决本题的关键．