Question

17．已知曲线y=f（x）=$\frac{1}{x}$．
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为-$\frac{1}{2}$的曲线的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点为（m，$\frac{1}{m}$），求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，进而得到切线的方程；
（3）设切点为（n，$\frac{1}{n}$），由切线的斜率，解得n，再由点斜式方程可得所求切线的方程．

解答 解：（1）y=f（x）=$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
曲线在点P（1，1）处的切线斜率为-1，
可得曲线在点P（1，1）处的切线方程为y-1=-（x-1），
即为y=-x+2；
（2）设切点为（m，$\frac{1}{m}$），
可得切线的斜率为-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
即有-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{m}}{m-1}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
即有切线的方程为y=-4（x-1），
即为y=-4x+4；
（3）设切点为（n，$\frac{1}{n}$），
可得切线的斜率为-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得n=±$\sqrt{2}$，
可得切点为（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有切线的方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即为y=-$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{2}$；
或y=-$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处和过某点的切线的区别，考查运算能力，属于基础题和易错题．