Question

8．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由向量垂直的条件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2}$，
（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{c}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
=|$\overrightarrow{c}$|²-|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=0，
即为|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
当cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=1即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$同向时，
|$\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．