Question

17．设f（x）=（m+1）x²-mx+m-1．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为R，求m的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，求m的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）-（m+4）x-m+5≥0．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知m+1＞0，△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，求解即可；
（2）需对二次项系数分类讨论：系数等于零，大于零和小于零．利用二次函数分别求解，最后求并集即可；
（3）不等式可整理为（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，对二次项系数分类，当为零时和不等于零时，然后利用因式分解判断根，通过讨论根的大小得出解集．

解答 解：（1）f（x）＞0的解集为R，
∴m+1＞0，
△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，
当m=-1时，显然不成立，
∵f（1）=m，f（-1）=3m，
当m+1＞0时，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，$\frac{m}{2m+2}$＞1或$\frac{m}{2m+2}$＜-1，
∴无解；
当△＜0时，即m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴当m+1＜0时，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，
解得无解，
∴m的取值范围为m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）f（x）-（m+4）x-m+5≥0，
∴（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，
当m=-1时，x≤2；
当m≠-1时，
∴（x-2）（x-$\frac{2}{m+1}$）≥0，
∴当m=0时，x∈R，
当m＞0或m＜-1时，x＞2或x＜$\frac{2}{m+1}$，
当-1＜m＜0时，x＞$\frac{2}{m+1}$或x＜2．

点评 本题考查了二次函数的性质和分类讨论，难点是对二次项系数的分类和对根大小的讨论．