Question

7．金融风暴对全球经济产生了影响，温总理在广东省调研时强调：在当前的经济形势下，要大力扶持中小型企业，使中小型企业健康发展，为响应这一精神，某银行准备新设一种定期存、贷款业务，经预侧．存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款利率为4.8%，且银行吸收存款能全部放贷出去．
（1）若存款利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息与存款利率x之间的函数关系式；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

Answer 1

分析 （1）根据条件利用待定系数法即可求出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息与存款利率x之间的函数关系式；
（2）根据银行收益=贷款收益-存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数y=0.048kx²-kx³，然后对函数进行求导判断函数的单调性，进而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）设存款利息为x，则应用x∈（0，0.048），
依题意：存款量g（x）=kx²，银行应支付的利息f（x）=kx³．
（2）贷款的收益是0.048kx²，则银行的收益是y=0.048kx²-kx³．
由于y′=0.096kx-3kx²，令y′=0，得x=0.032或x=0（舍去），
又当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0，
所以当x=0.032时，y取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大利润．

点评 本题主要考查函数的应用问题以及利用导数求函数的最值问题，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．