Question

2．△ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，AC=2，点H位于AB边上，沿CH折叠△ABC，若折叠过程中始终有AB⊥CH，则三棱锥H-ABC的体积最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，依据折叠过程中始终有AB⊥CH，可得H为AB的中点，然后利用等积法求得使多面体HABC体积取最大值时A的位置，代入三棱锥体积公式求得答案．

解答 解：如图，∵△ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，且AC=2，
∴BC=2，AC=$2\sqrt{2}$，
又点H位于AB边上，且沿CH折叠△ABC的过程中始终有AB⊥CH，
即CH⊥平面ABH，∴CH⊥AB，则H为AB的中点，
∵三棱锥H-ABC的体积等于三棱锥A-BCH的体积，
∴要使三棱锥H-ABC的体积最大，则需三棱锥A-BCH的高最大，
即当AH⊥平面BCH时体积最大，
此时${S}_{△BCH}=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2=1$，AH=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$．
∴三棱锥H-ABC的体积最大值为$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查棱锥体积的求法，关键是明确折叠问题在折叠前后的变量与不变量，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．