Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，若a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$=1，则a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$的取值范围是[3-$2\sqrt{2}$，3+$2\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知可设a₁=cosθ，a₂=sinθ，得到d=sinθ-cosθ，进一步得到a₃=2sinθ-cosθ，代入${{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}$，然后利用三角函数的最值得答案．

解答 解：设a₁=cosθ，a₂=sinθ，
则d=a₂-a₁=sinθ-cosθ，∴a₃=a₂+d=2sinθ-cosθ，
则${{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}$=sin²θ+（2sinθ-cosθ）²=4sin²θ-2sin2θ+1
=2（1-cos2θ）-2sin2θ+1=-2（sin2θ+cos2θ）+3
=$-2\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+3$，
∴${{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}∈$[3-$2\sqrt{2}$，3+$2\sqrt{2}$]．
故答案为：[3-$2\sqrt{2}$，3+$2\sqrt{2}$]．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，由已知想到利用三角求解是关键，是中档题．