Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围为b≤-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（m-n）²≥1恒成立，转换成最值问题求解即可．

解答 解：设f（x）=x²+ax+b=0，有两根x₁，x₂，
∴4b＜a²，x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，
∴（x₁-x₂）²≥1恒成立，
∴a²-1≥4b，
∴b≤-$\frac{1}{4}$．

点评 考查了二次函数和二次函数图象的性质．