Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）求证：AB⊥C₁F；
（2）求证：C₁F∥平面ABE；
（3）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由BB₁⊥平面ABC得AB⊥BB₁，又AB⊥BC，故AB⊥平面B₁BCC₁，所以AB⊥C₁F；
（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形EGFC₁是平行四边形，故而C₁F∥EG，于是C₁F∥平面ABE；
（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵BB₁⊥底面ABC，AB?平面ABC
∴BB₁⊥AB．
又∵AB⊥BC，BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又∵C₁F?平面B₁BCC₁，
∴AB⊥C₁F．
（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．
∵F，G分别是BC，AB的中点，
∴FG∥AC，且FG=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，E是A₁C₁的中点，∴EC₁=$\frac{1}{2}$A₁C₁．
∴FG∥EC₁，且FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，∴C₁F∥EG．
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
（3）解：∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴三棱锥E-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．