Question

5．随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也在不断提高．某村村委会统计了2011到2015年五年间每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如表所示：

年份（x）	2011	2012	2013	2014	2015
家庭数（y）	6	10	18	22	26

（1）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；
（2）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程$\widehat y$=bx+a，
并判断它们之间是正相关还是负相关；
（3）利用（2）中所求出的直线方程估计该村2018年在春节期间外出游泳的家庭数．
参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式$\widehat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，\widehat a=\overline y-\widehat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）使用列举法求出所有基本事件的个数和至少有一年多余20人的事件数，使用古典概型的概率公式求出概率；
（2）根据相关系数公式求出相关系数，得出回归方程；
（3）将x=2018代入回归方程计算．

解答 解：（1）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：
（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），
（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，
至少有1年多于20人的事件有：
（2011，2014），（2011，2015），（2012，2014），（2012，2015），
（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种，
则至少有1年多于10人的概率为P=$\frac{7}{10}$．
（2）由已知数据得$\overline{x}$=2013，$\overrightarrow{y}$=16，
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=-2×（-10）+（-1）×（-6）+1×6+2×10=52，
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=（-1）²+（-2）²+1²+2²=10，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{52}{10}=5.2$，$\stackrel{∧}{a}$=16-5.2×2013=-10451.6，
∴回归直线的方程为y=5.2x-10451.6，
∴y与x是正相关关系．
（3）当x=2018时，y=5.2×2018-10451.6=42．
∴该村2018年在春节期间外出游泳的家庭数约为42．

点评 本题考查了古典概型的概率计算，线性回归方程的解法及数值估计，属于中档题．