Question

15．设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）若函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|的最小值，并求取的最小值时x的取值范围；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，进行求解即可．
（2）将g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，转化为（x）+m≠0在R上恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，结合函数的最值进行求解即可．

解答 解：（1）由绝对值三角不等式可得，
f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{2x-3≤0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]]时等号成立，故f（x）的最小值为2．
（2）g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R等价于f（x）+m≠0在R上恒成立，
即f（x）+m=0在R上无解，所以m＞-2，即实数m的取值范围为（-2，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的相关知识，考查考生的运算求解能力和等价转化能力．理解g（x）的定义域为R等价于f（x）+m≠0在R上恒成立是求解本题的关键．