Question

20．已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2．
（1）求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值；
（2）若对?a，b∈（0，+∞），$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥|{2x-1}|-|{x+1}$|恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
（2）由|2x-1|-|x-1|≤$\frac{9}{2}$，通过分类讨论利用绝对值不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）•\frac{a+b}{2}=\frac{5}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{2a}{b}}=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$，
∴${（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）_{min}}=\frac{9}{2}$，此时$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{4}{3}$．
（2）∵$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥|2x-1|-|x+1|$对?a，b∈（0，+∞）恒成立，
∴$|2x-1|-|x+1|≤\frac{9}{2}$$?\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x+1+x+1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1-x-1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-x-1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$
$?-\frac{5}{2}≤x≤-1$或$-1＜x≤\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x≤\frac{13}{2}$，
$?-\frac{5}{2}≤x≤\frac{13}{2}$，∴$x∈[-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}]$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．