Question

11．已知函数f（x）的定义域为D，若对于?a，b，c∈D，．f（a），f （b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=lnx（x＞1）
②f（x）=4+sinx
③f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）
④f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$
其中为“三角形函数”的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，若f（x）为“三角形函数，则满足f（a）+f（b）＞f（c）或者f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，即可．

解答 ②任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，
不妨假设a≤c，b≤c，
设a=1.1，b=1.1，c=2时，满足a+b＞c，
由于lna+lab=ln（ab）=ln1.21＞ln2不成立，
所以h（x）=lnx，x∈[1，+∞）不是为三角形函数”；
②f（x）=4+sinx的最大值f（x）_max=4+1=5，最小值f（x）_min=4-1=3，则f（x）_max-f（x）_min=5-3=2＜f（x）_min，即函数f（x）=4+sinx为“三角形函数”．
③f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）为增函数，则最大值f（x）_max=${8}^{\frac{1}{3}}=\root{3}{8}$=2，最小值f（x）_min=1，则f（x）_max-f（x）_min=2-1＜1不成立，即函数f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）
不是“三角形函数”．
④f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1+1}{{2}^{x}+1}$=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，则f（x）∈（1，2），最大值f（x）_max＜2，f（x）_min＞1，则f（x）_max-f（x）_min＜1，则f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min成立，
故f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$是“三角形函数”，
故是“三角形函数”的是②④，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义“三角形函数”，根据条件转化为求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．