Question

1．设集合$M=\left\{{（x，y）\left|{y=\sqrt{1-{x^2}}}\right.}\right\}$，N={（x，y）|y=k（x-b）+1}，若对任意的0≤k≤1都有M∩N≠∅，则实数b的取值范围是1-$\sqrt{2}$≤b≤3．

Answer 1

分析 依题意，可作出集合A与集合B中曲线的图形，依题意，数形结合即可求得实数b的取值范围．

解答 解：∵集合A={（x，y）|y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$}，B={（x，y）|y=k（x-b）+1}，
当0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，作图如下
集合A中的曲线为以（0，0）为圆心，1为半径的上半圆，B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的直线上的点，
由图知，当k=0时，显然A∩B≠∅，
当k=1，y=（x-b）+1经过点C（1，0）时，此时b=2；
当k=1，直线y=（x-b）+1与曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切与点A时，由圆心（0，0）到该直线的距离d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{2}}$=1得：
b=1-$\sqrt{2}$或b=1+$\sqrt{2}$（舍）．
∵0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，
∴实数b的取值范围为：1-$\sqrt{2}$≤b≤2．
故答案为：1-$\sqrt{2}$≤b≤3．

点评 本题考查集合关系中的参数取值问题，考查数形结合思想的应用，考查作图与分析运算的能力，属于中档题．