Question

13．如图，直线PA与圆切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．
（1）求证：∠PCA=∠BAC；
（2）若PC=2AB=2，求$\frac{AP}{BC}$．

Answer 1

分析 （1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥PD，可得：∠PCA=∠BAC；
（2）证明△PAC～△CBA，则$\frac{PC}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{BC}$，即可求$\frac{AP}{BC}$．

解答 （1）证明：∵直线PA与圆切于点A，∴∠PAC=∠ABC，…（2分）
∵∠PAC=∠BCD，∴∠ABC=∠BCD，…（3分）
∴AB∥PD，…（4分）
∴∠PCA=∠BAC…（5分）
（2）解：∵∠PCA=∠BAC，∠PAC=∠ABC，
∴△PAC～△CBA，则$\frac{PC}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{BC}$，…（7分）
∵PC=2AB=2，∴AC²=AB•PC=2，即$AC=\sqrt{2}$，…（9分）
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．