Question

9．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆上的点到焦点的最短距离为$1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且$\overline{AP}=3\overline{PB}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由焦点在y轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆上的点到焦点的最短距离为$1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，设椭圆$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线斜率不存在时：$m=±\frac{1}{2}$，当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，设c＞0，c²=a²-b²，
由条件知$a-c=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$a=1，b=c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故椭圆C的方程为：${y^2}+\frac{x^2}{{\frac{1}{2}}}=1$．
（2）当直线斜率不存在时：$m=±\frac{1}{2}$，
当直线斜率存在时，设l为y=kx+m，与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，（*）
${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+2}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-1}}{{{k^2}+2}}$，
∵$\overline{AP}=3\overline{PB}$，∴-x₁=3x₂，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-2{x_2}}\\{{x_1}{x_2}=-3x_2^2}\end{array}}\right.$，
消去x₂，得$3{（{x_1}+{x_2}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，∴$3{（\frac{-2km}{{{k^2}+2}}）^2}+4\frac{{{m^2}-1}}{{{k^2}+2}}=0$，
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0，${m^2}=\frac{1}{4}$时，上式不成立，
${m^2}≠\frac{1}{4}$时，${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}$，
∴${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}≥0$时，∴$-1≤m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m≤1$，
把${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}$代入（*）得$-1＜m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m＜1$，
∴$-1＜m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m＜1$．
综上m的取值范围为（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量知识的合理运用．