Question

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期为π，且在x=

π

8

处取得最大值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA+sinC=

3

2

f(

B

2

-

π

8

)，且ac=

2

3

b2，求角B．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知函数的周期，利用三角函数的周期公式求出ω的值，再由函数在x=

π

8

处取得最大值，得到点（

π

8

，2）在函数图象上，将此点代入函数解析式中确定出φ的值，即可确定出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用第一问确定出的函数解析式化简已知的等式sinA+sinC=

3

2

f（

B

2

-

π

8

），再利用正弦定理变形，表示出a+c，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a+c及ac代入，化简后得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，即ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又点（

π

8

，2）在函数图象上，得sin（

π

4

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
则f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

4

）；
（Ⅱ）由sinA+sinC=

3

2

f（

B

2

-

π

8

），得sinA+sinC=

3

sinB，
由正弦定理得：a+c=

3

b，又ac=

2

3

b²，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

3b2- 4 3 b2-b2

4 3 b2

=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角函数y=Asin（ωx+φ）解析式的确定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．