Question

1．已知非零向量$\overrightarrow{a\;}，\;\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$＞=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=9|$\overrightarrow{b}$|²，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$|²=8|$\overrightarrow{b}$|²，即|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
∴$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-（$\overrightarrow{a}$）²=-8|$\overrightarrow{b}$|²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$＞=-$\frac{8|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|•3|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的夹角公式，属于基础题．