Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，n∈N^*．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_2n-1b_2n+1，求使得

n

i=1

ci＜

m

10

对一切n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设数列{b_n}的前n和为S_n，T_n=S_2n-S_n，试比较T_n+1与T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1，所以b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=b_2n-1b_2n+1=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知

n

i=1

ci=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)，要使

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

m

10

对一切n∈N^*都成立，必须并且只须满足

1

2

≤

m

10

，由此能求出满足要求的最小正整数m．
（3）由Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，知T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．由此利用作差法能够比较T_n+1与T_n的大小．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，
得a_n=b_n+1，
代入a_n-1=a_n（a_n+1-1），
得b_n=（b_n+1）b_n+1，
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，---（2分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾，
从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，-（4分）
∵b₁=a₁-1=1，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

1

bn

=n，
即bn=

1

n

．-（5分）
（2）∵c_n=b_2n-1b_2n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)--（6分）
∴

n

i=1

ci=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)--（8分）
∴要使

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

m

10

对一切n∈N^*都成立，
必须并且只须满足

1

2

≤

m

10

，即m≥5，
∴满足要求的最小正整数m为5．--（10分）
（3）∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

--（12分）
又∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n．----（14分）

点评：本题首先考查等差数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意作差法在比较大小中的灵活运用．