Question

（2012•江门一模）设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(

a

)=

0 ， a = 0 1 | a | a ， a ≠ 0 .

，则对?

a

、

b

∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）

• A．f(

  a

  +

  b

  )=f(

  a

  )+f(

  b

  )
• B．f（|

  a

  |?

  a

  +|

  b

  |

  b

  ）=f[f（

  a

  ）+f（

  b

  ）]
• C．f（|

  a

  |?

  a

  ）=f（

  a

  ）
• D．f（|

  b

  |?

  a

  +|

  a

  |

  b

  ）=f[f（

  a

  ）+f（

  b

  ）]

Answer 1

分析：由映射f的对应法则，可得f（

a

）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量

a

均有f（|

a

|•

a

）=f（

a

）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．

解答：解：根据题意，映射f（

a

）的对应法则是将零向量对应到零向量，
将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得
对于A，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的两个非零向量，
则f(

a

+

b

)=

1

| a + b |

(

a

+

b

)≠

0

，且f(

a

)+f(

b

)=

1

| a |

a

+

1

| b |

b

=

0

，
所以f(

a

+

b

)≠f(

a

)+f(

b

)，得A项不正确；
对于B，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的两个非零向量，则|

a

|•

a

+|

b

|

b

不是零向量，
可得f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）=

1

|| a |• a +| b |• b |

(|

a

|•

a

+

|b|

•

b

)≠

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f（

0

）=

0

，故f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得B项不正确；
对于C，若

a

=

0

，则f（|

a

|•

a

）=f（

a

）=

0

；
若

a

≠

0

，则f（|

a

|•

a

）=

1

| a |

a

且f（

a

）=

1

| a |

a

，得f（|

a

|•

a

）=f（

a

）
由以上的分析，可得对任意向量

a

，均有f（|

a

|•

a

）=f（

a

）成立，故C项正确；
对于D，若向量

a

=

0

且

b

≠

0

，则f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）=f（

0

）=

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f[

0

+

1

| b |

•

b

）=

1

| b |

•

b

≠

0

，
因此，f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得D项不正确
故选：C

点评：本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．