Question

16．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（a_n-1）（a_n+2），
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，试比较T_n与$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$的大小．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=n+1；
（2）求得$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$，运用裂项相消求和可得T_n，再由作差法，讨论n的范围，即可得到大小关系．

解答 解：（1）当n=1时，2a₁=2S₁=（a₁-1）（a₁+2），
∵a₁＞0，∴a₁=2．
n=2时，2S₂=（a₂-1）（a₂+2）=2（2+a₂），
解得a₂=3．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n+1；
（2）解：∵$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$，
∴T_n=$\frac{{2}^{2}}{2}$-$\frac{2}{1}$+$\frac{{2}^{3}}{3}$-$\frac{{2}^{2}}{2}$+…+$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-2，
T_n-$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-2-$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$
=$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$，
当n＜17且n为正整数时，
$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$＜0，∴T_n＜$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$；
当n=17时，
$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$=0，∴T_n=$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$；
当n＞17且n为正整数时，
 $\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$＞0，∴T_n＞$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．